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    曆的故事,曹亮吉 ,大學入學考試中心

    曆的故事,曹亮吉 ,大學入學考試中心
    舊世紀什麼時候結束,新世紀什麼候開始?新世紀的第一道曙光在哪裡看得到?這些是歷史的問題,也是地理的問題,而且都是曆的問題。
    現在我要講八個和曆有關的故事,彼此不一定相連,但整體來看,希望能說出曆的大致面貌。

    耶穌生在耶穌紀元前四年

    我們說今年是二○○二年,用的是西元。西元又稱為公元,因為世界上大部分的國家都採用它,至少在國際間的公務往來是如此。西元也稱為耶穌紀元,原意是從耶穌誕生後第二年開始起算。

    當耶穌在世時,祂的影響力還沒大到可以樹立年代的里程碑。祂的行跡所至,大概都在羅馬勢力範圍內,公共事務是以羅馬曆法為依據,而描述耶穌個人行誼則用猶太曆法。

    耶穌死後,基督教逐漸興起。基督教最重要的節日就是復活節─耶穌死後三天復活了;這是神的啟示。一開始,復活節在一年中哪一天,並沒有一致的規定。羅馬皇帝君士坦丁為影響基督教,在西元三二五年舉行基督教大公會議,尋求基督教義的統一,並規定復活節在「春分之後第一個月圓後的第一個禮拜天」(如果月圓剛好是禮拜天,就順延一星期。),所以,復活節是羅馬與猶太兩曆的混合產物。

    這樣的規定牽涉到三個周期:春分(一年四季之中有兩天的日和夜等長,春季的那一天稱為春分),月圓與太陽的回歸、月亮的盈虧相關,禮拜天則是星期周期的特殊日子。因為一般人很難推算出來,於是教會就找有學問的修士,推算往後幾年復活節的日子,並周知教友採用。

    修士推算復活節,首先面臨紀年的問題─他要說某某年的復活節是幾月幾日;某某年要怎麼說呢?當時用的是羅馬皇帝戴克利先(Diocletian)的紀元,由於戴克利先曾經屠殺基督徒,基督徒很難接受以這充滿血腥的紀元來推算復活節。

    輪到西徐亞(Scythia︰現在的摩達維亞Moldavia)地方的修道院院長「矮子但尼斯」(Dionysius Exiguus)推算復活節時,他想到何不用耶穌紀元呢?因此,以耶穌出生後的第二年為耶穌紀元元年。從各種資料推算,他認為當時已經到了耶紀五二五年。耶穌紀元從此就漸漸傳開來使用,變成了西元紀年,公元紀年。

    不過,經過後人仔細考證,耶穌並不出生在耶紀前一年,而是前四年。所以千禧年並不等同於耶穌誕生千年紀念或二千年紀念。

    八世紀時英國的聖徒貝德(Bede)算過復活節,也用耶穌紀元來寫英國史,回溯到耶穌紀元前六十年的事。但在他的系統中,沒有耶穌紀元零年。也就是說,耶穌紀元前一年的次年,就是耶穌紀元一年。換句話說,紀元前一年最後一天過完後,第二天就是紀元後一年的元旦。

    在這樣的系統下,耶穌紀元的第一個百年,也就是一世紀,只好從紀元一年開始,到一○○年結束。二世紀從一○一年開始,到二○○年結束。二十世紀從一九○一年開始,到二○○○結束。那麼新世紀就從二○○一年開始,…

    參加倫敦奧運會,帝俄代表團遲到十二天

    一九○八年,奧林匹克運動會在倫敦舉行,帝俄代表團遲到了十二天,抵達時運動會已經結束。這樣的烏龍事件要怪誰呢?是陸上或海上交通耽誤了?還是邀請函日子寫錯或看錯日子?正確的答案是:英俄兩國採用的曆法不一致,兩者相差了十二日。

    凱撒在西元前四十五年,建立了西方的陽曆系統。規定平年365日,每四年有一閏年,增加一日,所以平均一年長為365.25日。

    凱撒的陽曆年平均長度,與真正的回歸年(地球公轉一周回到原來的地方所需要的時間)長365.2422日相較,其實算是相當準確的。然而俗諺有言:失之毫釐,謬以千里。就那麼一點點的誤差,讓日曆上的春分與天文上的春分漸行漸遠。

    一五八二年,教皇格雷格利(Gregory)十三世宣布改曆,內容有兩大重點:其一,把該年十月五日直接跳成十月十五日,以糾正已經造成的錯誤,讓日曆與天文的春分相互吻合。其二,修改曆的設計,使得往後不會再發生誤差。他規定,從一六○○年開始,每四百年為一周期,在此周期內,每四年一閏,但第一百、二百、三百年則免閏。如此,則四百年九十七閏,那麼,陽曆年的平均長為365(97/400)=365.2425日,與真正的回歸年只有萬分之三日的誤差。這就是我們現在所用的陽曆。

    格雷格利教皇的改曆正值宗教改革時期,反教皇的基督教國家一開始都拒絕採用,後來基於科學現實,才陸續改用。歷史上更早從羅馬天主教分出去、地理上相隔更遠的東正教國家則是堅持不改,以致發生了帝俄奧運代表團的烏龍事件。

    一九一七年,帝俄發生十月革命,改為蘇聯,採用格雷格利的陽曆。不過請記住,革命是發生在舊陽曆十月,而依新的陽曆,則應為十一月革命。

    新世紀的第一道曙光,哪裡看得到

    地球上哪個地方最先進入新世紀?這個問題比曙光的問題要簡單。國際換日線劃在太平洋中,大致以東西經一百八十度為準,不過,為了兼顧共同生活區應在換日線的同一側,所以線劃得有些曲折。在換日線的西側,離換日線經度方向差異最小,而有人居住的地方(只有人才關心新舊世紀的區別,不是嗎?),每天都最先進入新的一天,當然也就最先進入二十一世紀。

    理論上,換日線上的點都是得第一的所在,可是這些點都在大洋中,如果想爭取第一,就得坐船到換日線上;不過要很小心,稍有不慎,漂到換日線的東側,就成了最後進入二十一世紀的人了。

    大家更在意的是,哪裡看得到新世紀的第一道曙光。為什麼?「一日之計在於晨」的曙光看得見,午夜時刻可是悄悄溜過。對了,為什麼規定一天的開始是午夜呢?不特別為什麼,袛是曆上大家同意這樣的規定。生活上,印度人一日之始在於晨,猶太人、阿拉伯人則一日之始在於昏,天文觀測者日夜顛倒,一天是從正午開始的。

    太陽光總是照著半個地球,所以地球上黑夜白天的分界線是個大圓。這個大圓隨時間、隨季節而變動。地球上有地方剛進入了新世紀,這個大圓還在國際換日線的東側,但漸漸逼近它。理論上這個大圓與換日線開始碰觸的地方,就是第一道曙光出現的地方,不過它在海中。就是只考慮換日線西側,大圓最先碰觸的陸地也不一定是,因為可能烏雲遮住了曙光,也可能在附近西側地方的小山丘上更早看到了曙光,…。

    國際換日線是很人為的規定,當初要是劃在台灣的東側外緣,那麼我們的觀光業就可藉機大撈一筆。

    過端午,收棉襖

    俗語說:過端午,收棉襖。或者說:不過端午,不收棉被。意思都一樣:端午節之前,雖然有時候變得很熱,但有時候還是很涼,棉襖還要穿,棉被還要蓋。只有過了端午節,夏天真正到了,才可以把棉襖、棉被收起來。

    端午節在陰曆五月五日,是依月亮周期變化的節慶,卻成了氣候變化的標竿,通嗎?端午節在標定氣候變化的陽曆中是不固定的,從陽曆五月底到六月下旬都有可能。像去年(二○○一年)就發生在陽曆六月二十五日,梅雨季早巳結束,棉襖、棉被早就收起來了。

    陰曆一年十二個月,長為354日或355日,與陽曆年相差十日或多一點。也就是說,每年的端午節在陽曆中要提前大約十日到十一日,平均起來快到三年就要差上一個月,造成陰陽兩曆大失調。所以,陰曆平均將近三年就要閏月一次,來矯正陰陽兩曆的差距。

    此地的梅雨季大約在六月上旬結束,不過「過了六月上旬,就收棉襖」這樣的話,不太有學問的氣勢,成不了俗語。農曆中的二十四中節氣,比較有學問的樣子,而芒種這個節氣固定在陽曆的六月四日或五日,似乎可用來賣弄學問:過芒種,收棉襖。不過這不是好辦法,第一,大家不知道芒種是什麼;再者,愈往北方,梅雨季結束愈晚,所以用中節氣的俗語不一定各地一體適用。「過端午,收棉襖」還是改成「梅雨停,收棉襖」就好了。

    享壽一百零二歲,積閏一百有五歲

    陳立夫先生生於一九○○年,去年(二○○一年)去世,訃聞上有「享壽一百零二歲,積閏一百有五歲」的說法,許多人無法了解。我們習慣用虛歲,「享壽一百零二歲」不成問題;但積閏是什麼?

    中國傳統的農曆以陰曆紀月紀日,但又置有實質為陽曆的二十四個中節氣,做為農事的參考。二十四中節氣一輪的周期,相當於一陽曆年,要比一陰曆年十二個陰曆月長,農曆就在十九個陰曆年中置七個閏月,使陽曆年與陰曆年不至於有很大的失調。這樣的設計,使得農曆變成了陰陽合曆。

    換句話說,用農曆,十九個陽曆年相當於十九個純陰曆年(一純陰曆年含十二個陰曆月),再加上七個閏月。從一九○○年到二○○一年有一○一個陽曆年,亦即五個十九年加上六年。每十九年有七個閏月,而六年則有二個閏月,所以共有5×7+2=37個閏月,足夠三個純陰曆年。「積閏一百有五歲」的說法就得到合理的解釋了。不過這是純陰曆年累積年數;而農曆中,陰曆年是把閏月也包括在內,所以一陰曆年有時可長達十三個月。

    回教人士使用純陰曆,他們的曆和太陽完全無關。他們的齋戒月,還有麥加朝聖日期,相對於陽曆,每年都提前。他們的一年比較短,算起年歲相對就比較大。

    十九年七閏,哪年哪月要閏

    為什麼十九年要有七閏呢?粗算一下是這樣的:陽曆年一年平均365日多一點,陰曆十二個月則平均有354日多一點,兩相比較相差約十一日。十九年就相差了11×19=209日,大約等於七個陰曆月。所以十九年要有七閏。

    中國的陰陽合曆用十九年七閏,至少可追溯到殷商時代。在西方,巴比倫人、猶太人、希臘人等也用陰陽合曆。起先用八年三閏,沒多久就不準了;接著改用十一年四閏,雖然準一點,但終究無法持久。最後西元前五世紀的希臘天文學家默冬(Meton)採用了十九年七閏,在西方就稱為默冬周期。

    在古代,十九年七閏通常規定在十九年周期中,第三、六、八、十一、十四、十七、十九年各閏一個月;中國在漢武帝之前規定閏月擺在年底。從漢武帝開始,就利用二十四中節氣的十二個中節氣,與十二個陰曆月一一掛鉤,而一旦脫鉤就置閏月。這樣的機制保證陰陽兩曆的調和,兩千年之內都是十九年七閏,更久則自然會演變成更準確的三一五年一一六閏。

    為了了解三一五年一一六閏,我們做如下的精算:一回歸年平均為365.2422日,一朔望月(月亮繞地球旋轉一周所需要的時間)平均為 29.5306日,所以一回歸年要有365.2422/29.5306≒12.36826個陰曆月,亦即每年十二個朔望月之外,還多0.36826個月。十九年七閏就是用7/19≒0.36842來代替那多出的部分。短期來說是夠準的,但長期而言,三一五年一一六閏會更準: 116/315≒0.36825。

    天之曆數在爾躬

    古羅馬人用的是純陰曆,新月出現的日子稱為宣布日(kalends),它是陰曆月的第一日(農曆陰曆月的朔日,是看不到月亮的)。這一天,羅馬的執政官要當眾宣布,新的一個月開始了,借債要在約定的日子前還息,哪一天有市集,哪一天有節慶,…。「宣布」的拉丁文是calere,由它衍生了「宣布日」kalends,進一步衍生了「曆」(calendar)。「曆」就是「行事以時」的意思。

    《論語》最後一篇〈堯曰篇〉,開頭是這樣的,堯曰:「咨!爾舜!天之曆數在爾躬,允執其中!四海困窮,天祿永終。」意思是說,你承受大命,要做得中規中矩。否則百姓窮困,你的大命也就沒有了。在這裡用具體的說法「天之曆數在爾躬」來表示承受大命:你頒的曆,大家都要遵行的。

    《疇人傳》的傳主是天文數學家

    清乾隆皇帝末年,也就是十八世紀末,學者阮元著有《疇人傳》,疇人就是天文官的意思。《疇人傳》列入中國歷代的天文數學家二百四十三人,以及來華傳教士懂得天文曆法者三十七人,共計二百八十人。來華的傳教士以利瑪竇最具代表,他教會徐光啟平面幾何(兩人共譯《幾何原本》前六冊),使後者得以學習西方的天文,日後參與明朝改曆研究。

    中國歷代非常重視天文曆法,因為掌握天文曆法是掌控政局的象徵。天文曆法需要數學,而數學的發展有賴於天文曆法的研究。

    曆法要基於天文的觀測,從有限次的觀測,要推算天體的運行,需要內插法這種數學的技巧。內插法的發展是中國數學的一個特色,高階等差級數則是它在純數學方面的應用。

    曆法牽涉到許多周期,譬如太陽年,陰曆月,木星(歲星)的周期等,還有在這些周期中,相關天體的位置,亦即周期的餘數。從目前各周期的餘數,反推上一次各周期餘數全歸零的年代-所謂的上元積年,是個相當困難的數學問題。我國因此發展出餘數定理,它在現今的代數領域中占有重要的地位。

    西方天文的研究也帶動許多數學的發展,例如平面三角、球面三角、內插法、對數等都是。這些數學隨著傳教士在明末清初漸漸傳入我國。另外,我們可用連分數的觀點,來看曆法中的許多小數,用怎樣分數來代替比較好。我們說過的7/19,116/315其實和0.36826(與1輾轉相除所得)的連分數表示都有關係。

    「天之曆數在爾躬」,「爾」從前指的是皇帝,現在人民是國家的主人翁,「爾」指的是你。你雖然未必能掌握曆法的實際編製,但至少要能了解曆法的基本架構,及相關的文化史。在這方面,你需要的數學不多,只要四則運算、代數思維、以及簡單的邏輯。


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